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傅里叶变换是信号处理领域的核心工具，用于将时域信号转换为频域谱图。以下将从基础概念出发，逐步介绍傅里叶变换的相关知识。

1. 非周期矩形脉冲信号的连续谱

对于幅度为1、脉宽为τ的非周期矩形脉冲信号，其连续频谱可以通过傅里叶变换得到：$$X(f) = τ \cdot \text{sinc}(τf)$$这一结果表明，脉冲信号的频谱在基频附近达到峰值，并随着频率偏移逐渐衰减。

2. 傅里叶变换的定义

傅里叶变换分为正变换和逆变换：

• 傅里叶正变换：$$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2πft} dt$$该公式描述了如何将时域信号转换为频域谱图。
• 傅里叶逆变换：$$x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f) e^{j2πft} df$$逆变换用于将频域信号还原为时域信号。

3. 非周期信号的傅里叶变换

（1）矩形脉冲信号

矩形脉冲信号的傅里叶变换结果呈现明显的带状特性，频谱峰值位于信号的基频附近。

（2）sinc脉冲信号

sinc脉冲信号的傅里叶变换均匀分布在频域，其频谱形状与sinc函数密切相关。

（3）单位冲激信号

单位冲激信号的傅里叶变换结果简洁明了：$$F[δ(t)] = 1$$这意味着冲激信号在基频处具有单调的频谱峰值。

4. 周期信号的傅里叶变换

对于周期信号，其傅里叶变换具有特殊性质：

• 直流信号的傅里叶变换结果是一个狭窄的频率带，峰值出现在基频。
• 复指数信号的傅里叶变换结果是一个狭窄的频率脉冲，峰值出现在基频附近，并呈现明显的能量集中特征。

通过以上内容可以看出，傅里叶变换是分析信号频谱的重要工具，其应用广泛，包括通信系统、音频处理等多个领域。

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