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5.傅里叶变换
阅读量:810 次
发布时间:2023-04-15

本文共 726 字,大约阅读时间需要 2 分钟。

傅里叶变换是信号处理领域的核心工具,用于将时域信号转换为频域谱图。以下将从基础概念出发,逐步介绍傅里叶变换的相关知识。

1. 非周期矩形脉冲信号的连续谱

对于幅度为1、脉宽为τ的非周期矩形脉冲信号,其连续频谱可以通过傅里叶变换得到:$$X(f) = τ \cdot \text{sinc}(τf)$$这一结果表明,脉冲信号的频谱在基频附近达到峰值,并随着频率偏移逐渐衰减。

2. 傅里叶变换的定义

傅里叶变换分为正变换和逆变换:

  • 傅里叶正变换:$$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2πft} dt$$该公式描述了如何将时域信号转换为频域谱图。
  • 傅里叶逆变换:$$x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f) e^{j2πft} df$$逆变换用于将频域信号还原为时域信号。

3. 非周期信号的傅里叶变换

(1)矩形脉冲信号

矩形脉冲信号的傅里叶变换结果呈现明显的带状特性,频谱峰值位于信号的基频附近。

(2)sinc脉冲信号

sinc脉冲信号的傅里叶变换均匀分布在频域,其频谱形状与sinc函数密切相关。

(3)单位冲激信号

单位冲激信号的傅里叶变换结果简洁明了:$$F[δ(t)] = 1$$这意味着冲激信号在基频处具有单调的频谱峰值。

4. 周期信号的傅里叶变换

对于周期信号,其傅里叶变换具有特殊性质:

  • 直流信号的傅里叶变换结果是一个狭窄的频率带,峰值出现在基频。
  • 复指数信号的傅里叶变换结果是一个狭窄的频率脉冲,峰值出现在基频附近,并呈现明显的能量集中特征。

通过以上内容可以看出,傅里叶变换是分析信号频谱的重要工具,其应用广泛,包括通信系统、音频处理等多个领域。

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